5.2 Historische Renditen als Ausgangspunkt zur Bestimmung der
Varianz- Kovarianz- Matrix

Für die Ermittlung eines Schätzers der zukünftigen Varianzen werden häufig
einfach die Abweichungen der historischen Renditen quadriert und deren
Durchschnitt errechnet.
Nimmt man Rit als die tägliche Rendite der i-ten Anlage zum Zeitpunkt t, M als
den Zeithorizont des Investments und wt als das Gewicht dieser Anlage zum
Zeitpunkt t an, lässt sich der Schätzer der zukünftigen Varianz formal mit

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beschreiben.140
Zur Bestimmung der Kovarianz wird als Schätzer ein gewogener Durchschnitt
aus den Produkten der historischen Renditen zweier Anlagen verwendet. Dabei
bezeichnet R_jt die Rendite der j-ten Anlage zum Zeitpunkt t. Formal kann der
Schätzer der Kovarianz dann dargestellt werden als:

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Die Hauptaufgaben bestehen darin, wie die historischen Renditen bestimmt und
deren Produkte über die Zeit gewichtet werden.141 Für die Gewichte w_t gibt es
dabei mehrere Möglichkeiten.
Es ist z.B. denkbar diese einfach durch

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gleich zu setzen und damit jeder Beobachtung das gleiche Gewicht zu geben.
Dies würde einer einfachen historischen Ermittlung der Varianzen und
Kovarianzen entsprechen.
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, jüngere Datensätze anhand einer „decay-
rate“ der Form

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überzugewichten. Dabei kann zum Beispiel der letzen Beobachtung eine
Gewichtung von 100% eingeräumt werden (wt = 1,0), und den darauffolgenden
Werten jeweils 90% des vorangegangenen Gewichtes zuzuweisen. Damit wäre
w_t =1,0, w_t -1 = 0,9, w_t -2 = 0,81 usw., was einer decay- rate von 10% entsprechen
würde.

Die Modellierung anhand der decay- rates bietet Vorteile, wenn von einer
Zeitvariabilität oder einer Autokorrelation der Varianzen und Kovarianzen
ausgegangen wird. Durch die Übergewichtung jüngerer Datensätze reagiert der
Schätzer sensitiver auf Veränderungen dieser Werte im Zeitablauf. Die Wahl der
decay- rate sollte dabei derjenigen Rate entsprechen, die der nachfolgenden
Verteilung der Renditen am besten entspricht. Dies kann z.B. anhand von
Testdurchläufen auf Basis historischer Daten ermittelt werden. Dabei hängt diese
Ermittlung der optimalen decay- rate vornehmlich vom Investitionshorizont sowie
der angenommenen Form der Verteilung der Renditen ab.142