5.1 Die Bedeutung der Varianz- Kovarianz- Matrix in der Asset
Allocation

Die Verwendung historischer Varianzen und Kovarianzen als Schätzer der
zukünftigen Varianzen kann - im Vergleich mit der Bestimmung der erwarteten
Rendite- vor allem aus zwei Gründen als deutlich weniger problematisch
angesehen werden: Erstens wirken sich Schätzfehler bei den Varianzen und
Kovarianzen, wie in Kapitel 3 gezeigt wurde, deutlich schwächer auf die optimale
Portfolioallokation aus als Schätzfehler bei den erwarteten Renditen. Zweitens ist
die Größe der Schätzfehler bei einer Schätzung der zukünftigen Varianzen und
Kovarianzen anhand historischer Werte deutlich geringer als bei den Renditen.
Dies liegt im Wesentlichen daran, dass - im Gegensatz zur Ermittlung der
erwarteten Renditen - eine Erhöhung der Datenfrequenz innerhalb eines
vorgegebenen Zeitraums zur Reduktion des Schätzfehlers führt.137
Die Standardabweichung des Mittelwertes bzw. die Höhe des Schätzfehlers
beträgt bei einer historischen Ermittlung der erwarteten Rendite, wie bereits in
Abschnitt 4.2.1 gesehen,

          (12)

bzw.

          (12`)

hängt also, im Falle der Renditen, bei gleich bleibendem Beobachtungszeitraum
nicht von der Datenfrequenz ab.
Im Vergleich dazu bestimmt sich die Güte des Schätzers der Varianz mit

          (32)

mit T = n* Δt und n als der Anzahl der Beobachtungszeitpunkte.138

Die Güte des Schätzers der Varianz kann also durch eine Erhöhung der
Beobachtungszeitpunkte verbessert werden. Je höher die Datenfrequenz, desto
geringer ist, zumindest theoretisch, die Höhe des Schätzfehlers. Es ist also
denkbar, durch Verkürzungen der Beobachtungsintervalle, z.B. auf täglicher,
stündlicher oder sogar minütlicher Basis die Güte dieses Schätzers immer weiter
zu verbessern. Jedoch stehen dem einige praktische Schwierigkeiten entgegen.

Eine sehr hohe Datenfrequenz bringt nämlich das Problem mit sich, dass die
erhobene Datenmenge durch den sogenannten „market noise“ verfälscht wird.
Unter „market noise“ versteht man kleinere Marktbewegungen, die zufällig
entstehen und oft durch kleine Umsätze hervorgerufen werden. Auch stellen die
Preisbewegungen über sehr kurze Zeiträume oft einfach Veränderungen in den
Geld/Brief- Spannen dar. Des weiteren ergeben sich oft signifikante
Veränderungen der Volatilitäten innerhalb kurzer Zeiträume, z.B. vor oder nach
der Veröffentlichung marktrelevanter Fundamentaldaten. Betrachtet man sehr
kurze Zeiträume, können die Märkte in diesem Sinne als nicht mehr effizient
gelten.

Auch bedeutet eine sehr hohe Datenfrequenz, dass die empirisch beobachteten
Renditen nicht mehr unabhängig, identisch und normalverteilt sind.
Litterman und Winkelmann haben anhand einer Monte- Carlo Simulation gezeigt,
dass Aktienrenditen bei hohen Datenfrequenzen autokorreliert sind.139 Des
weiteren weisen sie eine Verteilung der Renditen nach, die bei hohen
Datenfrequenzen nicht mehr durch die Normalverteilung approximierbar ist,
sondern sogenannte „fat tails“ besitzt, d.h. zu viel Masse an ihren Enden aufweist.

Dennoch ist die historische Bestimmung der Varianzen und der Kovarianzen mit
deutlich geringeren Schätzfehlern behaftet als bei der Verwendung historischer
Renditen als Schätzer der ex- ante Renditen.
In der Praxis wird sogar oft aufgrund der Größe der Schätzfehler in den
Renditegrößen sowie deren starken Einfluss auf die resultierenden
Portfoliogewichte auf die Bestimmung der erwarteten Renditen im Rahmen der
Mean- Variance Optimierung verzichtet und nur das sogenannte „Minimum-
Varianz“ Portfolio bestimmt. Dabei wird nur eine Schätzung der Varianz-
Kovarianz- Matrix, meist aus historischen Daten, vorgenommen, während die
Renditegrößen konstant und gleich gehalten werden.

Im folgenden Abschnitt wird ein Verfahren für die historische Ermittlung der
Varianz- Kovarianz vorgestellt, um dann trotz der relativ hohen Güte dieses
Schätzers der einfachen historischen Ermittlung einen kurzen Überblick über
weitere Verfahren zu geben.