4.3.1 Das Standardmodell

Die folgende Darstellung folgt weitgehend den Ausführungen von Cochrane
sowie dem Originalpapier.68 Die Nutzenfunktion für jeden möglichen zukünftigen
Konsumpfad eines repräsentativen Investors wird darin mit

           (16)

beschrieben. C_tbezeichnet dabei den Konsum zum Zeitpunkt t und der Parameter
ρ beschreibt den subjektiven Diskontierungsfaktor des repräsentativen Investors.
Die Funktion U(·) ist streng monoton steigend und konkav und beschreibt damit
einen steigenden aber abnehmenden Grenznutzen des Konsums.
Dabei beschreibt u(C) eine Funktion der konstanten relativen Risikoaversion:

          (17)

Der Risikoaversionsparameter γ steht einerseits für die Höhe der Risikoaversion
und andererseits die Bereitschaft der Investoren, ihren Konsum über die Zeit zu
substituieren. Die intertemporale Substitutionselastizität ψ ist dabei direkt mit
dem Risikoaversionsparameter γ verbunden.69 Die Intuition dahinter ist, dass,
wenn Konsumenten abgeneigt gegenüber der Variation verschiedener Zustände
zu einem bestimmten Zeitpunkt sind, sie auch gegenüber der Veränderung des
Konsums über die Zeit abgeneigt sind. Für γ = 0 liegt dabei Risikoneutralität und
eine perfekte Substitution des Konsums im Zeitablauf vor, γ = 1 steht für u(C) =
ln(C) und bedeutet, dass jede Verdopplung des Konsums einen identischen
zusätzlichen Nutzen stiftet.
Durch einfaches umformen von Gleichung (17) erhält man:

          (18)

Hohe γ bedeuten, dass die Investoren eine hohe Risikoaversion sowie eine
niedrige intertemporale Substitutionselastizität aufweisen.
Dieses Standardmodell dient als Grundlage zahlreicher makroökonomischer
Modelle.70 Auch ist es damit möglich, die theoretisch von den Investoren
theoretisch benötigte ex- ante Risikoprämie zum Erwerb risikobehafteter Anlagen
zu ermitteln.
Dabei werden folgende Annahmen getroffen: Die Präferenzen der Investoren
werden durch die Nutzenfunktion in Gleichung (16) beschrieben, es besteht ein
vollkommener Kapitalmarkt und es existieren weder Transaktionskosten noch
Steuern. Die Investoren können dabei eine risikolose und eine risikobehaftete
Anlage tätigen.
Dabei ergibt sich für die risikolose Anlage ein risikofreier Zins von:71

          (19)

wobei c die proportionale Veränderung des aggregierten Konsums beschreibt.
Die Höhe der theoretisch geforderten Risikoprämie beträgt demnach:

          (20)

Gleichung (20) drückt dabei die wohl wichtigste Idee bei der Bewertung
risikobehafteter Anlagen aus. Sie besagt, dass die Überschussrendite auf jede
risikobehaftete Anlage proportional zu der Kovarianz dieser Rendite mit dem
marginalen Nutzen einer zusätzlichen Konsumeinheit und dem Konsumwachstum
ist.

Die Implikation daraus ist bedeutend: Eine risikobehaftete Anlage mit der
Standardabweichung σ(r) bietet keine höhere erwartete Rendite als eine
risikofreie Anlage, wenn sie nicht mit dem Konsumwachstum korreliert ist. Der
Grund dafür ist die perfekte Diversifizierbarkeit dieser Anlage.

Dies ist auch mit dem CAPM kongruent, das nur für systematische, nicht
diversifizierbare Risiken höhere erwartete Renditen bestimmt.
Im folgenden Abschnitt wird anhand dieses Modells und plausibler
Inputannahmen versucht, die theoretische von den Investoren geforderte ex- ante
Risikoprämie abzuleiten. Insbesondere interessant erscheint dabei ein Vergleich
dieser theoretischen geforderten Risikoprämie mit den tatsächlich realisierten
historischen Renditen.